If two planes leave the same airport at \(1:00\text{ PM}\), how many miles apart will they be at \(3:00\text{ PM}\) if one travels directly north at \(150\text{ mph}\) and the other travels directly west at \(200\text{ mph}\)? (দুটি বিমান দুপুর \(1:00\) টায় একই বিমানবন্দর থেকে যাত্রা শুরু করে। একটি বিমান সরাসরি উত্তর দিকে ঘণ্টায় \(150\) মাইল বেগে এবং অপরটি সরাসরি পশ্চিম দিকে ঘণ্টায় \(200\) মাইল বেগে চললে, দুপুর \(3:00\) টায় তাদের মধ্যকার দূরত্ব কত মাইল হবে?)

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ (Application of Pythagoras Theorem)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য জ্যামিতির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম, যা সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর সম্পর্ক নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

উপপাদ্য

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

$c^2=a^2+b^2$

এখানে, c = অতিভুজ, a ও b = অপর দুই বাহু।

প্রয়োগের ক্ষেত্রসমূহ

• দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়
• ভূমির ঢাল বা উচ্চতা নির্ণয়
• ইঞ্জিনিয়ারিং ও স্থাপত্যে পরিমাপ
• মানচিত্র ও নেভিগেশনে ব্যবহার

১. সরাসরি বাহু নির্ণয়

যদি দুইটি বাহু জানা থাকে, তবে তৃতীয় বাহু নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ:

যদি a = 3 এবং b = 4 হয়, তবে

$c^2=3^2+4^2$$=9+16=25$$c=5$

২. দূরত্ব নির্ণয় (Coordinate Geometry)

দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।

ধরি, দুটি বিন্দু

$A(x_1,y_1)$
$B(x_2,y_2)$

দূরত্ব সূত্র

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$(y₂-y₁) 2

৩. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ

• সিঁড়ির দৈর্ঘ্য নির্ণয়
• ভবনের উচ্চতা নির্ণয়
• রাস্তার ঢাল নির্ণয়
• ড্রোন বা বিমানের দূরত্ব নির্ধারণ

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজে প্রযোজ্য
• সব সময় অতিভুজ সবচেয়ে বড় বাহু
• গণিত ও প্রকৌশলে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

উদাহরণ ১. ∆ABC এর AB AC, BA কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = AC হয়। C, D যোগ করা হল।

ক) উদ্দীপকের ভিত্তিতে চিত্র আঁক।

খ) প্রমাণ কর যে, BC + CD > 2AC

গ) প্রমাণ কর যে, ∠BCD = এক সমকোণ।

সমাধান :

ক)

খ) দেওয়া আছে AB = AC এবং অঙ্কন অনুসারে AC = AD

∆BCD এ

BC + CD > BD [ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, BC + CD > AB + AD

বা, BC + CD > AD + AD

বা, BC + CD > 2AD

$\therefore$ BC + CD > 2AC [$\because$ AB = AC = AD]

গ) দেওয়া আছে AB = AC সুতরাং ∠ABC = ∠ACB

অর্থাৎ ∠DBC = ∠ACB

অঙ্কন অনুসারে AC = AD সুতরাং ∠ADC = ∠ACD

অর্থাৎ ∠BDC = ∠ACD

∆BCD এ

∠BDC + ∠DBC + ∠BCD = দুই সমকোণ [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই কোণের সমান]

বা, ∠ACD + ∠ACB + ∠BCD = দুই সমকোণ

বা, ∠BCD + ∠BCD = দুই সমকোণ

$\therefore$ ∠BCD = এক সমকোণ।

উদাহরণ ২. PQR একটি ত্রিভুজ। PA, QB ও RC তিনটি মধ্যমা O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে চিত্র আঁক।

খ) প্রমাণ কর যে, PQ + PR > QO + RO

গ) প্রমাণ কর যে, PA + QB + RC < PQ + QR + PR

সমাধান :

ক)

খ) চিত্র ‘ক’ থেকে প্রমাণ করতে হবে যে, PQ + PR > QO + RO

প্রমাণ : ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার ৩য় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর

∆PQB এ PQ + PB > QB

আবার ∆BOR এ BR + BO > RO

$\therefore$ PQ + PB + BR + BO > QB + RO

বা, PQ + PR+ BO > QO + OB + RO

$\therefore$ PQ + PR > QO + RO

গ) অঙ্কন : PA কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন PA = AD হয়। Q, D যোগ করি।

প্ৰমাণ :

∆QAD এবং ∆PAR এ

QA = AR, AD = PA

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠QAD = অন্তর্ভুক্ত ∠PAR

$\therefore$ ∆QAD = ∆PAR এবং QD = PR

এখন, ∆PQD এ PQ + QD > PD

বা, PQ + PR > 2PA [$\because$ A, PD এর মধ্যবিন্দু]

একইভাবে, PQ + QR > 2QB এবং PR + QR > 2RC

$\therefore$ PQ + PR + PQ + QR + PR + QR > 2PA + 2QB + 2RC

বা, 2PQ + 2QR + 2PR > 2PA + 2QB + 2RC

বা, PQ + QR + PR > PA + QB + RC

$\therefore$ PA + QB + RC < PQ + QR + PR